المشتقة الأولى ــ المعنى الهندسي للمشتقة

المشتقة الأولى ــ المعنى الهندسي للمشتقة

المشتقة الأولى للدالة The First derivative of the Function

من القسم الأول توصلنا إلى أن معدل التغير هو دالة تسمى المشتقة الأولى ، وذكرنا للوصول لمعدل التغير أو للمشتقة الأولى بإجراء أربع خطوات وهذا إذا كنا نريد حساب المشتقة الأولى من المبادئ الأولية ويعرفه البعض بقابلية اشتقاق الدالة فالسؤال يجب أن يكون واضحاً هنا بالنص الصريح كقولنا أحسب المشتقة الأولى باستخدام التعريف(تعريف المشتقة) أو من المبادئ الأولية أو أبحث قابلية اشتقاق الدالة أو أي عبارة يستفاد منها البحث عن المشتقة الأولى للدالة للمعطاة.

بحث المشتقة الأولى ضروري بالتعريف وخاصة عند النقط التي يتغير بجوارها تعريف الدالة كما سنتعرف على ذلك لاحقاً ولكن من الأهمية ذكر هذا هنا فتغير تعريف الدالة عند نقطة ما استلزم منا سابقاً حساب الغاية من اليمين واليسار وكذلك الاتصال من اليمين واليسار وهنا سنبحث أيضاً المشتقة من اليمين واليسار والحال نفسه بوجود الغاية بتساوي الغاية من اليمين واليسار والحال نفسه مع الاتصال والاشتقاق بتساوي اليمين واليسار ووجوب بحث المشتقة من اليمين واليسار باستخدام التعريف للنقط التي يتغير بجوارها تعريف الدالة، وقد يرى البعض استخدام هـ بدلاً عن ∆ س وتكون المشتقة الأولى بإحدى الصورتين (كتعريف)


حيث هـ كمية صغيرة جداً جداً وللطالب الحق في استخدام أي منهما ضمن الخطوات الأربع السابق ذكرها وللأهمية نعيدها مع الصورة الجديدة بمثال لزيادة الفائدة

مثال : أوجد باستخدام التعريف المشتقة الأولى للدالة د(س) = س2 + 2 س

الحل :

د(س) = س2 + 2 س ............................ ( 1 )

د( س + هـ ) = ( س + هـ )2 + 2 ( س + هـ ) إحداث تغير قدره هـ في س (هام للطالب في س وليس في د(س)) أو في س2

د( س + هـ ) = س2 + 2 س هـ + هـ2 + 2 س + 2 هـ ................ ( 2 )

بطرح ( 1 ) من ( 2 ) لاحظ الطرف الأيسر من ( 1 ) يحذف بالكامل لكونه الأصل وهدفنا قيمة التغير

د( س + هـ ) – د( س ) = 2 س هـ + هـ2 + 2 هـ لا مانع من وضع ت(هـ) بدل من د( س + هـ ) – د( س ) للتعبير عن التغير في الدالة

د( س + هـ ) – د( س ) = هـ( 2 س + هـ + 2 ) وهذا قيمة التغير في الدالة ت(هـ)

بالقسمة على هـ نحصل على متوسط التغير الذي يعطى يرمز له بالرمز م(هـ)

م(هـ) = 2 س + هـ + 2 متوسط التغير للدالة

بحساب الغاية عندما هـ تؤول للصفر نحصل على المشتقة الأولى د‾(س)

د‾(س) = 2 س + 2 ( هـ = 0 ) ومن حيث س ' ح فإن الدالة قابلة للاشتقاق

من السهولة حساب المشتقة عند س = 6 فتكون د/(6) = 2 × 6 + 2 = 12 + 2 = 14 والبعض يجري تعويض مباشر في التعريف بالصورة




ويمكن أن نجعل ∆ س بدل عن هـ في الحل السابق والبعض يعجبه استخدام التعريف بالصورة الأولى بالصورة الآتية:

ص = س2 + 2 س .......................... ( 1 )

ص + ∆ ص = ( س + ∆ ص)2 + 2 ( س + ∆ س )

ص + ∆ ص = س2 + 2 س ∆ س + (∆ س)2 + 2 س + 2 ∆ س

∆ ص = 2 س ∆ س + (∆ س)2 + 2 ∆ س ناتج طرح ( 1 ) من ( 2 )

متوسط التغير = 2 س + ∆ س + 2 ناتج القسمة على ∆ س

معدل التغير = 2 س + 2 بحساب الغاية عندما ∆ س تقترب من الصفر

المشتقة الأولى = 2 س + 2

ومن المفيد هنا أن نقدم مثالاً لحساب المشتقة الأولى بالتعريف لدالة نسبية بضرورة معرفتنا لحساب المضاعف المشترك للمقادير الجبرية الذي يقبل القسمة على كل منها بدون باقي كقولنا أن 6 مضاعف مشترك للعددين 2 ، 3 لقابلية القسمة عليها بدون باقي ومن الضرورة بمكان من التأكد من معرفة المضاعف المشترك هذا لكونه يلعب دوراً هاماً هنا

مثال : باستخدام تعريف المشتقة الأولى للدالة د( س ) = ( س + 1 ) ÷ ( 2 س – 3 )





لاحظ أن مجال الدالة المشتقة هو ح – {1.5} أي مجال دالة المشتقة الأولى وذلك من 2س – 3 = 0 ومنها س = 3 ÷ 2 = 1.5 ( صفر المقام كما يحلو للبعض )


المعنى الهندسي للمشتقة:
قد يكون الشكل التالي معبر عن مفهوم المشتقة هندسياً




فالمشتقة الأولى تعبر عن ميل المنحنى عند نقطة عليه وهو ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة وعليه يمكن وضع التعريف الآتي : اتجاه المنحنى عند نقطة عليه هو اتجاه المماس عند تلك النقطة وهو مساوياً ميل المماس أو ميل المنحنى أو قيمة المشتقة الأولى للدالة عند هذه النقطة

تأكد من أن المشتقة الأولى تعطي ميل المماس وليس معادلته فعلى سبيل المثال إن كانت قيمة المشتقة الأولى 1 عند (2 ، 3) فهذا يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة هو 1 في حين معادلته هي ص − 3 = 1 ( س − 2 ) وهذا يقودنا لذكر معلومات عن الميل والمعادلة والنقطة كما يلي :

ميـل المستقيم

* ميل المستقيم بالتعريف هو ظل الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات أي م = طاى ( ى الزاوية المذكورة هنا )

* ميل المستقيم هو قيمة المشتقة الأولى الناتجة من اشتقاق معادلته أي م = ص¯ أو م = د¯(س) حيث م رمز الميل

* المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل أي المستقيم ل // المستقيم ك أي ميل ل = ميل ك ( يستفاد معرفة الميل) والعكس صحيح

* المستقيمان المتعامدان اللذان ميلاهما م1 ، م2 يؤدي إلى م1 × م2 = – 1 ( يستفاد معرفة الميل) والعكس صحيح

* ميل المحور السيني = صفر ( المستقيم الموازي لمحو السينات ميله = صفر كما سبق ذكر ذلك ) لاحظ هنا م = طا0 = صفر

* ميل المحور الصادي = ∞ ( المستقيم الموازي لمحور الصادات ميله = ∞ كما سبق ذكر ذلك ) لاحظ هنا م = طا90 = ∞

لاحظ حاصل ضرب ميلي مستقيمان متعامدان = – 1 والمستقيمان الموازيان لمحوري الإحداثيات يكون 0 × ∞ = – 1 (شرط التعامد)

معادلة المستقيم
* ص = م س + حـ حيث م الميل ، حـ الجزء المقطوع من محور الصادات " مار بالنقطة ( 0 ، حـ ) "

* ص − ص1 = م ( س − س1 ) الذي ميله م ومار بالنقطة (س1 ، ص1)

* ص = 0 معادلة المحور السيني

* س = 0 معادلة المحور الصادي

* ص = ك المستقيم الموازي لمحور السينات

* س = ل المستقيم الموازي لمحور الصادات

* ص = س المستقيم المار بنقطة الأصل

* أ س + ب ص + حـ + ك( أ1 س + ب1 ص + حـ1 ) = 0 المستقيم المار بنقطة تقاطع أ س + ب ص + حـ = 0 ، أ1 س + ب1 ص + حـ1 = 0

* أ س + ب ص + حـ = 0 الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم

إحداثيات النقطـة